Четырёхугольники

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

По свойству ломаной длина любой стороны многоугольника меньше суммы длин остальных его сторон.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. В противном случае он называется невыпуклым.

Диагональю многоугольника называется отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).

Теорема справедлива и для невыпуклого многоугольника.

1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 360°. Найти число сторон этого многоугольника. (4)
2. Найти число диагоналей шестиугольника. (9)
3. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с его внутренним углом. Доказать, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки прямой, содержащей одну из сторон параллелограмма, к прямой, содержащей противоположную сторону (основание параллелограмма). Высотой параллелограмма также называется длина указанного перпендикуляра.

Все высоты параллелограмма, проведенные к данному основанию, равны между собой как расстояния между параллельными прямыми.

У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Периметр параллелограмма со сторонами a и b находится по формуле P = 2(a + b).

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма называется центром параллелограмма.

Задача 1. ABCD — параллелограмм, BK и BM — его высоты, ∠KBM = 60°, AK = 3 см, KD = 7 см. Найти: ∠ABK, ∠A, сторону AB, периметр параллелограмма ABCD.

Задача 2. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K, AD = 12 см, AB = 10 см. Найти длину отрезка KC.

Задача 3. Доказать, что любой отрезок с концами на сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если у четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Задача 1. Дан параллелограмм ABCD. На его сторонах BC и AD отложены равные отрезки BK и DM. Доказать, что AKCM — параллелограмм.

Задача 2. Построить при помощи циркуля и линейки параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Задача 3. Доказать, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Если у некоторого параллелограмма один угол прямой, то и остальные три угла будут прямыми, поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180°. Таким образом, параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Так как прямоугольник — частный случай параллелограмма, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали прямоугольника равны.

Если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник.

Прямоугольники, в частности, равны, если равны их соответствующие стороны, так как в этом случае прямоугольники можно совместить наложением.

Задача 1. Доказать, что если у четырехугольника все углы прямые, то он является прямоугольником.

Задача 2. Доказать теорему: «Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы». Обратная теорема. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Задача 3. Доказать, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон прямоугольника, разбивает этот прямоугольник на два равных прямоугольника.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов.

Высоты ромба, проведенные к соседним сторонам, равны между собой.

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб. Если одна из диагоналей параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.

Если перегнуть ромб по диагонали AC, то вершина B совместится с вершиной D, а значит, треугольник ABC совместится с треугольником ADC. Ромб имеет две оси симметрии, которые содержат его диагонали.

Задача 1. Найти периметр четырехугольника ABCD, у которого AO = OC, BO = OD, ∠1 = 35°, ∠2 = 55°, CD = 6 см.

Задача 2. Дан параллелограмм ABCD с периметром 128 см, ∠D = 150°, ∠ACD = ∠ACB. Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат является параллелограммом с равными сторонами, у которого все углы прямые. Поэтому квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов. Точка пересечения диагоналей — центр квадрата.
Диагональ квадрата делит его на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
Две диагонали квадрата делят его на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.
У квадрата имеется один центр симметрии (в точке пересечения диагоналей) и четыре оси симметрии (две из них содержат диагонали, две проходят через середины противоположных сторон).

Если у ромба есть прямой угол, то это квадрат.
Если у параллелограмма диагонали равны и перпендикулярны, то это квадрат.
Если у четырехугольника диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то это квадрат.

Задача 1. На рисунке 73 ABCD — квадрат, AKD — равносторонний треугольник. Найти ∠BMC.

Задача 2. На сторонах квадрата ABCD отмечены точки N, P, K, M так, что AN = BP = CK = DM. Доказать, что NK ∥ PM и NK = PM.

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то на другой стороне угла отложатся равные отрезки.

1. Отложенных равных отрезков может быть два, три и более.
2. Теорема Фалеса справедлива не только для сторон угла, но и для произвольных прямых.

Если на сторонах угла от его вершины отложить равные отрезки, то прямые, проходящие через их концы, будут параллельны.

Требование обратной теоремы Фалеса о том, чтобы равные отрезки были отложены от вершины угла, обязательно. Иначе утверждение о параллельности прямых будет неверным.

Задача 1. Точка K — середина стороны AC треугольника ABC, MBNK — параллелограмм. Найти периметр треугольника ABC, если периметр параллелограмма равен 34 см, сторона AC = 16 см.

Задача 2. При помощи циркуля и линейки разделить данный отрезок на 3 равные части.

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Доказать, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1. Если диагонали AC и BD равны, то MNKP — ромб и отрезки MK и PN взаимно перпендикулярны.
2. Если отрезки MK и PN взаимно перпендикулярны, то MNKP — ромб и диагонали AC и BD равны.
3. Если диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, то MNKP — прямоугольник, и отрезки MK и PN равны.
4. Если отрезки MK и PN равны, то MNKP — прямоугольник и диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан называется «центром тяжести треугольника».

Точки M и K — середины сторон AD и CD соответственно параллелограмма ABCD. Доказать, что отрезки BM и BK делят диагональ AC на три равные части.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции), а две другие — не параллельны (боковые стороны трапеции).

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки, взятой на прямой, содержащей одно основание трапеции, к прямой, содержащей другое основание.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Все высоты трапеции равны как расстояния между параллельными прямыми.
Углы трапеции, прилежащие к боковой стороне, в сумме равны 180° как внутренние односторонние углы при параллельных прямых: ∠A + ∠B = 180°, ∠C + ∠D = 180°.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме, т. е. m = (a + b)/2.

Задача 1. Большее основание AD трапеции ABCD равно 18 см, средняя линия MN — 12 см. Найти меньшее основание BC трапеции.

Задача 2. Точки A и B находятся по одну сторону от прямой a. Расстояние от точки A до прямой a равно 7 см, а от точки B — 11 см. Найти расстояние от середины отрезка AB до прямой a.

Задача 3. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности оснований.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
У равнобедренной трапеции диагонали равны.

В равнобедренной трапеции ∠ADB = ∠DAC, AO = DO и BO = CO.

Если углы при основании трапеции равны, то она — равнобедренная.

Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной трапецией.

Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне.

Задача 1. Доказать признак равнобедренной трапеции: «Если у трапеции диагонали равны, то она — равнобедренная».

Задача 2. Доказать, что высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины, принадлежащей меньшему основанию, делит большее основание на отрезки, равные полусумме и полуразности оснований.

Задача 3. ABCD — прямоугольная трапеция с основаниями BC и AD. Меньшая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию, большая боковая сторона равна 42 см и составляет с одной из диагоналей угол, равный 105°. Найти высоту трапеции.